Lapprogrammering

Jag håller på att utforska programmeringens möjligheter att utveckla matematikundervisningen och har tidigare skrivit om hur vi kan låta datorn göra beräkningar åt oss. Det gör att vi kan lägga mer tid på att försöka analysera resultatet och resonera kring matematiska begrepp. En annan metod som jag tror kan hjälpa eleverna att förstå matematiska begrepp är att datalogiskt tänkande och algoritmer. Det som händer när man ska skriva en algoritm är att man behöver vara väldigt tydlig med vad man försöker åstadkomma, annars kommer datorn aldrig att kunna hjälpa dig att lösa ett problem.

En kollega till mig lät sina elever skriva ett program i Python för att omvandla mellan olika volymenheter för att förbättra deras förståelse av metoden.. Jag har också haft en tanke att låta eleverna skriva ett algoritm för uppställning av de fyra räknesätten men insåg snabbt att det var en alltför svår uppgift för de allra flesta elever. Jag blev därför väldigt glad när jag fick en övning i lapprogrammering från Katarina Olsson och Andreas Hernvald som jobbar på FoU enheten i Stockholms stad. Lapprogrammering handlar om att jag som lärare skriver en algoritm på ett A4-papper som jag sedan klipper sönder så att det blir en mening på varje rad. Eleverna får sedan sätta lapparna i rätt ordning. Det här ett lätt sätt att börja med algoritmtänkandet och där alla kan vara med och bidra. I den här övningen finns det en algoritm för multiplikation av ett tresiffrigt tal med ett ensiffrigt tal.

Pussel till multiplikationsalgoritm av två tal

När eleverna har lagt sitt ”pussel” kan de få jämföra lösningarna, har alla tänkt lika? Om inte, vad är det som skiljer mellan lösningarna? Ytterligare frågor som man kan ställa:

  • Vad betyder följande rad? (Annars, skriv entalssiffran i rutan under entalssiffrorna och tiotalssiffran på raden bredvid det undre talet.)
  • Fungerar den här algoritmen på alla typer av tal, om inte varför?
  • Kan man modifiera koden så att den passar alla tal?
  • Varför finns raden ”Lägg till 0” med  i algoritmen?
  • Finns det andra sätt att skriva algoritmen?

Jag har inte hunnit testa den här övningen tillsammans med elever men jag hoppas att det tydliggör vad man egentligen gör när man multiplicerar två tal med en multiplikationsalgoritm. Det är många elever som bara har lärt sig algoritmen utantill utan att egentligen ha förstått den.

Har du provat lapprogrammering, dela gärna med dig av dina erfarenheter i kommentarsfältet.

Annonser
Publicerat i Uncategorized

Programmering

Jag har funderat ganska mycket på de nya läroplanerna som börjar gälla i höst och framförallt programmeringen. Det är många som oroar sig för att det kommer att ta mycket tid från undervisningen och det är en relevant tanke. Jag försöker vända på det och funderar på hur man istället kan använda programmeringen för att utveckla undervisningen. Hur kan programmeringen hjälpa eleverna att förstå matematiken bättre och här tänker jag två spår.

Det ena är att att om man ska kunna skriva en algoritm för att göra en beräkning så måste man verkligen förstå hur beräkningen går till. Eller som någon sa: Det finns tre nivåer av förståelse av matematik. Först kan du använda matematik för att räkna tal, på den andra nivån kan förklara för någon annan hur han eller hon ska göra. På den tredje nivån kan du förklara för en dator hur den ska göra.

Här finns en mängd olika övningar man kan göra, man kan skriva en algoritm för hur det går till när man adderar två tresiffriga tal med varandra. Sedan klipper man sönder den så att det blir en mening på varje lapp, eleverna ska sedan försöka återskapa ordningen på lapparna. Jag återkommer med exempel på detta i ett annat blogginlägg.

Det andra spåret är att programmera en simulator som gör beräkningar åt oss så att vi kan använda vår tid och energi till att resonera kring matematiken. Jag testade att skriva en enkel simulator för tärningskast med två tärningar. Användaren får mata in hur många kast som ska simuleras och programmet slumpar fram kast och kollar om sju är det vanligast förekommande talet. Om det är det så får man testa fem gånger för att verifiera resultatet. Om sju inte är det vanligast förekommande talet så uppmanas användaren att öka antalet kast för att få ett säkrare resultat. Programmet visar också hur många gånger som resultatet har blivit två, tre och så vidare.

Simulatorn hittar ni här: Simulering tärningskast

Utifrån detta kan man föra en del diskussioner.

  1. Hur många kast behövde ni för att sju alltid ska bli vanligast förekommande?
  2. Varför har inte alla lika många kast? En del kanske har valt hundra och andra tusen.
  3. Varför blir resultatet så ofta sju?
  4. Hur många olika resultat kan man få med två tärningar?
  5. Blir värdena normalfördelade, vilka andra värden finns det som är normalfördelade?
  6. Varför skiljer sig antalet mellan gångerna?

Det som är fördelen är att det går snabbt att ändra förutsättningarna för att se vad som händer, på några sekunder har datorn ”kastat” tärningen 1000 000 gånger. Det skulle ta ganska långt tid att göra för hand. Man kan gå vidare med att undersöka vilka rektanglar som har den största arean utifrån en given omkrets eller undersöka volymer kontra begränsningsarea.

Har du några bra idéer på hur programmering kan utveckla matematikundervisningen, kommentera gärna nedan.

Publicerat i Uncategorized

Reflektioner från BETT

digital-background

Jag var på Bettmässan förra veckan tillsammans med Lin education. Det var en konferens med många intressanta föredragshållare, härliga möten och god öl.

tekniken-ar-inte-maletPå den här konferensen började jag sammanfatta alla lösa trådar jag har haft när det gäller digitaliseringen av skolan. När jag började jobba med datorer i skolan har jag alltid ansett att tekniken har varit underordnad pedagogiken. Jag har aldrig varit speciellt intresserad av tekniken i sig utan mer vad den kan göra för skolutveckling.  Det finns två ledmotiv som jag har med mig när jag funderar på teknikval.

  1. Gör det att eleverna lär sig bättre?
  2. Underlättar det arbetet för personal och elever?

Om tekniken inte svarar på någon av frågorna så är det inte intressant att använda.

En av de saker som jag har tänkt fördjupa mig i är TPACK som är ett ramverk för att beskriva hur tekniken kan användas i undervisningen.

tpack-new

Modellen utgår ifrån innehållet som man ska undervisa om och sedan funderar man på vilka pedagogiska metoder som är lämpliga för det innehållet, t ex genomgång eller klassrumsdiskussion. Sen finns det ytterligare en dimension som handlar om vilken teknik som är lämplig för detta innehåll. I den bästa av världar så möts teknik, pedagogik och innehåll för att skapa bästa möjliga lärsituation för eleven. För att åstadkomma detta måste läraren ha djupa kunskaper i alla områdena, teknik, pedagogik och innehåll.

Det som tilltalar mig med modellen är att tekniken integreras med övrig undervisning på ett naturligt sätt. Det andra som tilltalar med modellen är att den är enkel att applicera i undervisningen oavsett om man precis har knåpat ihop sin första powerpoint eller om man är ett fullfjädrat teknikproffs. Det är också lätt att få en progression i sina kunskaper.

unescoctiEtt annat ramverk som tilltalar mig mycket är Unescos IUNESCO ICT Competency Framework for Teachers som har en tydlig progression av användandet av ny teknik.  I det första steget så ersätter du något befintligt med teknik, du använder dig av socrative för att göra en exit ticket istället för att samla in lappar. I det andra steget förändrar man undervisningen med hjälp av teknik, dvs skapar helt nya arbetsmetoder. Slutligen kan man använda IKT för att skapa ny kunskap tillsammans med sina elever.

Datalogiskt tänkande

En stor del av mässan handlade om datalogiskt tänkande och programmering som jag fick en ökad förståelse av betydelsen av. Idag präglas arbetslivet av flera dataexperter som leder utvecklingen och skapar nya applikationer. Sen finns det användare av datorer som använder Officepaket och olika internetapplikationer i sitt arbete. Enligt Fredrik Heintz så kommer framtiden innebära att allt fler kommer att behöva instruera en robot så att den kan lösa problemen åt dig eller tillsammans med dig. För att våra elever ska kunna göra det behöver de förstå hur en dator fungerar för att kunna instruera den på rätt sätt och det är här datalogiskt tänkande kommer in.

En problemlösningsprocess för att beskriva, analysera och lösa problem på ett sätt så att datorer kan hjälpa till.

– Fredrik Heintz

Vi måste helt enkelt lära våra elever att samarbeta med en dator för att lösa problem, om några år kommer det inte att räcka att kunna använda en dator utan man måste kunna samarbeta med den på ett helt annat sätt än idag. Det innebär dock inte att alla elever kommer att behöva lära sig att programmera.

Digitalt ekosystem

skolaSkolan består av ett ekosystem av rektorer, elever, klassrum och övriga personal och lokaler som under 170 år har hittat en balans mellan sig som har fungerat väl under många år. Under de senaste åren har datorn smugit sig in i snart vartenda klassrum och det vore konstigt om det inte skulle få konsekvenser för de andra aktörerna i ekosystemet.

 

ekosystem

 

Det här innebär kanske att vi måste ändra på rollerna i våra skolor, det är inte alltid läraren som måste vara experten och kunna allting. Ibland är eleverna mycket bättre än läraren och då kan det vara nyttigt att släppa kontrollen och låta eleven jobba fritt där det mer handlar om att styra eleven åt rätt håll och hjälpa till med analyser och ställa fördjupande frågor. Många idrottslärare har förstått det och låter elever som är duktiga på en idrott leda lektioner.

I de teoretiska ämnena kan det innebära att eleverna hittar information som du som lärare inte har full koll på när de jobbar med olika områden och det kan vara väldigt jobbigt och många känner sig osäkra i sin lärarroll. Det kan dock våra väldigt roligt när man får lära sig många nya saker under sina lektioner.

Ny teknik utan nytt tänk ger ingen utveckling

– Bonnie Stewart

Under mina år så har jag alltid stött på frågor som jag inte har kunnat svara på och eleverna har inte hittat det i böckerna eller på Internet. Jag har då uppmuntrat eleverna att ta kontakt med experter utanför skolan, det kan vara allt ifrån en professor eller en som jobbar med den aktuella frågan i näringslivet. De allra flesta elever får svar och dessutom ofta inom ett dygn och det tycker eleverna är väldigt roligt och de lär sig verkligen att ta ansvar för sitt eget lärande. De lär sig också hur man gör när man inte vet svaret på något, det om något känns som relevant kunskap inför framtiden.

Digitaliseringen är här för att stanna och vi kan antingen välja att stå och titta på eller så kan vi välja att utnyttja fördelarna med ny teknik och utveckla skolan. Det gäller dock att ha en plan för hur IT ska implementeras, det räcker inte att köpa in en digital enhet till varje elev och tro att det ska förbättra lärandet. Då är risken stor att den digitala enheten blir en distraktion som sänker resultaten i skolan.

 

Publicerat i Uncategorized

Elevers förståelse av decimaltal

Det är många elever som har svårt med decimaltalen och framför allt att jämföra olika decimaltal. Det finns flera olika missförstånd bland eleverna kring begreppet decimaltal och det är ett ganska komplext begrepp att förstå. Hiebert (1983) har gjort en sammanställning över vad eleverna behöver för att förstå detta begrepp.

 

decimalsystemet

En tänkbar anledning till att elever har en bristande förståelse för decimalsystem är att när vi människor lär oss något nytt så försöker vi relatera till något vi redan kan. När eleverna ska lära sig decimaltal utgår de från sina förkunskaper, vanligtvis heltal och bråk, för att göra decimaltalen begripliga. Det här kan vara en framgångsrik strategi men den kan också leda eleverna på fel väg och Resnick (1988) har gjort en jämförelse mellan heltal och decimaltal. I tabellen nedan visas skillnader och likheter mellan decimaltal och heltal.

Jämförelse decimal och heltal

Det är ganska många olika delar som man måste förstå och det har forskats ganska mycket om elevers förståelse av tal i decimalform och här är några av de vanligaste:

Heltalsregeln

Ett vanligt misstag som eleverna gör är att tro att 2.12 är större än 2.9 eftersom 12 är större än 9 i heltalssystemet. Det här förstärks eftersom vi ofta säger ”två komma tolv” och ”två komma nio”. Det går alldeles utmärkt att göra när eleverna har förstått begreppet men innan dess måste man vara lite omständlig och säga ”två hela och en tiondel och två hundradelar”. Det gör att eleverna förstår att det är skillnad mellan tiondelar och hundradelar.

Bråkregeln

Några elever försöker använda sig av bråkregler när de jämför tal i decimalform och tror därför att 0,3 är större än 0,4 eftersom 1/3 är större än 1/4.

Negativt tänkande

De här eleverna blandar ihop negativa tal och decimaltal och tänker att 0,35 är mindre än 0,2 eftersom -20 är större än -35. Det finns också elever som tror att decimaltal är mindre än noll och tycker därför att 0 > 0,35.

Omvandling mellan bråk och decimaltal

Det finns elever som inte har förstått hur man omvandlar mellan bråk och decimaltal. De anser att nämnaren och täljaren ska finnas med och att det ska finnas ett kommatecken, därför blir 3/4 till 3,4 eller 0,34.

Nollans betydelse

En del elever har förstått att som man har en nolla efter kommatecknet så är det ett litet tal och kan storleksordna enligt följande

3,08 3,8 3,218

Bristande förståelse för decimalernas värde

Några elever tycker att 4,7 är mindre än 4,08 eftersom det är 7 tiondelar och 8 hundradelar.

Tal mellan decimaltal

Ett vanligt misstag är att eleven inte förstår att det finns oändligt många tal mellan 0,15 och 0,16. De kan tro att det inte finns något tal eller att det bara finns några tal.

Multiplikation med tio

När man multiplicerar ett heltal med tio har en del elever lärt sig att man kan sätta en nolla bakom, 87 x 10 = 870. Det här fungerar förstås inte med decimaltal, 2,72 x 10 är inte 2,720, även om en del elever verkar tro det.

Vad ska man tänka på som lärare

  • Att lära eleverna att lägga till nollor när man ska jämföra decimaltal kan göra det svårare att förstå begreppet.
  • Säg 2 hela och 75 hundradelar istället för två komma sjuttiofem
  • Låt eleverna jämföra mer än två tal åt gången för att säkerställa att de verkligen har förstått, se exemplet med nollans betydelse
  • Inte ha samma antal decimaler när eleverna ska jämföra bråk, använd 2,3 och och 2,29 istället för 2,31 och 2,29
  • Få eleverna förstå att de måste börja från vänster och först börja med att jämföra entalen (förutsatt att inte finns tiotal eller hundratal) och om de är lika stora jämför de tiondelarna.

Maria Hilling-Drath har skrivit en bra artikel om hur man kan använda tiobasmaterial för att förstärka begreppen kring decimaltal:

https://ncm.gu.se/pdf/namnaren/2125_07_1.pdf

Om man inte har tiobasmaterial kan man använda den här digitala versionen:

https://www.geogebra.org/m/MsVtqhrw

Vilka svårigheter har dina elever när det gäller decimaltal och hur jobbar du för att de ska få en bättre förståelse, berätta gärna!

Referenser

Hiebert J. and Wearne D., 1983, Students Conceptions of Decimal Numbers, presented at the Annual Meeting of the
American Educational Research Association

https://www.merga.net.au/documents/RP_Steinle_Stacey_1998.pdf

Moloney, K. & Stacey, K. (1997). Changes with Age in Students’ Conceptions of Decimal Notation. Mathematics Education Research Journal, 9(1), 25-38.

Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., Peled, I. (1989). Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), 8-27.

Steinle, V., & Stacey, K. (2004a). A longitudinal study of students’ understanding of decimal notation: An overview and refined results. In I. Putt, R. Faragher & M. McLean (Eds.), Proceedings of the 27th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (Vol. 2, pp. 541-48). Townsville: MERGA.

Publicerat i Uncategorized

Synliggörande av mål

För er som läser den här bloggen märker nog att jag är inspirerad av Hattie och även mattetjejWiliam och de lyfter fram vikten av att synliggöra målet med undervisningen. Det här jobbar jag med på många olika sätt och ett av mitt favoritverktyg är att ge exempel på vad som krävs av eleverna för de olika betygskriterierna i matematik. I början av ett nytt område brukar jag dela ut följande till eleverna:

Kriterier tal

Förmågorna står inom parantes,

(b) – begrepp, (m) – metod, (p) – problem, (k) – kommunikation, (r)  – resonemang

E nivå

Kriterier Exempel Självskattning (1-4)

1 – osäker

4 – säker

Du har en förståelse för storleksordningen av tal (b) Vilket är störst av följande tal?

(-4) och (–3)

Du kan räkna med de fyra räknesätten och negativa tal (m) Beräkna

a)     6 + (-3)    b) 6 – (-3)

c)    6∙(-3)       d) 6/(-3)

Du kan räkna med potenser, använda potensregler och grundpotensform (m) Beräkan

52

103∙104

 

Du kan räkna med roten ur (m)
Du kan lösa enkla problem (p,k,m) Kejsar Octavius föddes år 10 före Kristus. Det skulle man kunna skriva som år -10. Han dog år 80 efter Kristus. Hur gammal blev han?
Du kan föra enkla matematiska resonemang. Kalle påstår att -5 – 3 = 8 eftersom det är två minustecken. Har Kalle rätt eller fel, motivera ditt svar.

E-C nivå

Kriterier Exempel Självskattning (1-4)

1 – osäker

4 – säker

Du har en förståelse för storleksordningen (b) Vilket av följande tal är störst?

och 22

 

Du kan göra svårare beräkningar med potenser, potenser med negativa exponenter, använda potensregler, grundpotensform samt göra beräkningar med negativa tal (m) Beräkna

a)     42 – (-5) + (-3)  b)

Du kan lösa svårare problem (p,k,m) I 1 liter vatten finns det cirka 3∙1025 vattenmolekyler. Hur många vattenmolekyler finns det i en pool med 20 000 liter vatten?
Du kan föra utvecklade resonemang (r,k) Vilket tal är dubbelt så stort som 220?

420   240   420   221

 

 E-A nivå

Kriterier Exempel Självskattning (1-4)

1 – osäker

4 – säker

Du har en förståelse för storleksordningen (b) Vilket är störst av följande uttryck?

och

Du kan göra komplicerade beräkningar med potenser, potenser  med negativa exponenter, använda potensregler, grundpotensform samt göra beräkningar med negativa tal (m) Beräkna

4∙10-4∙8∙10-3

Du kan lösa komplexa problem (p,k,m) I världshaven finns ca 5∙1019 kg salt. Världshaven rymmer 1,3∙1021 liter vatten. Hur många kg salt per liter innehåller havsvatten i genomsnitt?
Du kan föra utvecklade resonemang (r,k) Förklara vad det är för skillnad mellan talen a och b om (-1)a och (-1)b=-1

Här är en länk till orginalfilen, viss formatering fungerar inte på bloggen…

Orginaldokumentet som wordfil

Eleverna får då själva bedöma hur säkra de på de olika kriterierna där 1 är osäker och 4 är säker. När vi närmar oss slutbedömningen så får de göra samma självskattning för att se vad de behöver träna mer på. De fokuserar helt enkelt på de kriterier som de känner sig mest osäker på.

Förutom att eleverna får en större förståelse över vad de faktiskt blir bedömda på så underlättar det även för dem att äga sitt eget lärande, en annan av Wiliams nyckelkompetenser.

Hur jobbar ni med att synliggöra målen för eleverna? Kommentera gärna nedan

Referenser

Hattie, John (2012). Visible learning for teachers: maximizing impact on learning. London: Routledge

Wiliam, Dylan (2013). Att följa lärande: formativ bedömning i praktiken. 1. uppl. Lund: Studentlitteratur

Publicerat i Uncategorized

Pythagoras sats

Jag har precis gått igenom Pythagoras sats tillsammans med niorna och jag provade en nytt sätt att inleda området. Eleverna fick ut fyra pinnar som var 5, 8, 12 och 13 cm långa.

20160121_103151

 

 

 

 

 

Uppgiften var att välja ut tre av pinnarna och skapa en rätvinklig triangel med dessa tre pinnar. För att de skulle bli 90 grader bad jag dem lägga böckerna så att de bildade en rät vinkel men eleverna kom snabbt på att det var enklare att använda sudden.

20160121_103052 (1)

 

 

 

 

 

När de hade kommit på att pinnarna 5, 12 och 13 kunde användas för att skapa en rätvinklig triangel bad jag dem att försöka skapa en till triangel med en annan uppsättning. Det gick nästan med 8, 12 och 13 men de såg att hypotenusan blev för kort.

20160121_103127

 

 

 

 

 

När de var klara så gick jag in och förklarade deras upptäckt med Pythagoras sats. Pinnarna var tänkte som en intresseväckare för att sedan förklara hur man använder satsen för beräkning och problemlösning.

Tyvärr hann jag inte med att göra någon exit ticket för att se om de hade förstått satsen men alla kunde använda den för beräkningar under lektionen. Den största skillnaden var att eleverna var mycket mer intresserade av genomgången än vad de brukar vara, bara det är en stor vinst. Testa gärna med era klasser och berätta hur det gick.

Publicerat i Uncategorized

Problemlösning på olika sätt

Jag jobbar mycket med att låta elever lösa matematiska uppgifter som går att lösa på olika sätt och sedan jämföra de olika lösningarna. I år har vi äntligen fått köpa in dokumentkameror för att göra arbetet lite enklare. Tidigare har eleverna fått skriva upp sina lösningar på tavlan och sedan har vi diskuterat dem. Det går betydligt mycket snabbare om man kan fota uppgifterna och sedan visa dem på en projektor eller smart-tv. Det går självklart lika bra att använda sin mobiltelefon och föra över dem till datorn (t ex via Dropbox eller Google drive) eller direkt till TV-n via Chromecast.

Ett av de problem som jag dök på när jag började med att jämföra elevlösningar var att eleverna alltid trodde att den algebraiska lösningen alltid var den bästa och jag ville komma runt det. De senaste åren har jag börjat diskutera utifrån för- och nackdelar med olika lösningar för att visa att olika metoder är bra vid olika tillfällen. Det tycker jag blir rikare diskussioner än att fundera på vilken metod som är bäst.

Generellt brukar jag dela in lösningarna i aritmetiska, tabeller, grafiska, systematiska prövningar och algebraiska. Det finns självklart varianter men de flesta lösningar passar in i någon av dessa beskrivningar. Om vi tittar på några lösningar som eleverna har gjort:

Elevexempel 1.

Här ser vi en typisk tabellösning. Eleven har skrivit upp hur många ben djuren har och sedan sett att 12 gäss tillsammans med 13 hästar blir 76 ben.

Fördelar: Lätt att förstå, svår att misslyckas med, överskådlig

Nackdelar: Svår att använda om antalet djur ökar eller om man lägger till fler djurarter.

. 20150909_100329-1

Elevexempel 2

Det här är ett exempel på en systematiska prövning. Eleven har satt in ett värde och sett att det är för få ben och sen minskat på antalet gäss för att hitta rätt antal.

Fördelar: Relativt får beräkningar, hittar alltid rätt svar, fungerar även på många djur

Nackdelar: Blir många beräkningar om man börjar med fel siffror.

Elevexempel 3

Den här eleven har gjort en grafisk lösning genom att rita upp 25 djur och ritat dit två ben och sedan lagt till två ben på varje djur tills det blir 76 ben.

Fördelar: Mycket enkel lösning, vem som helst kan förstå lösningen

Nackdelar: Tar ganska mycket tid

Elevexempel 4

Det sista exemplet är en den algebraiska lösningen där eleven har ställt upp en ekvation för att lösa problemet.

Fördelar: Hittar alltid rätt lösning, visar på goda kunskaper, fungerar alltid

Nackdelar: Krånglig, lätt att göra fel, tar lång tid på enkla uppgifter

20150909_101025-1

Jag försöker också utmana eleverna att byta metoder ibland. Om en elev alltid väljer tabeller så peppar jag hen att prova en annan metod.

När man bara har en hammare så ser all problem ut som en spik.

Så har brukar jag jobba med problemlösning, hur gör ni andra? Dela gärna med er av era tankar!

Publicerat i Uncategorized